Тихонова Маргарита Пусть нам дан куб ABCDA1B1C1D1. Обозначим его сторону через a. По условию задачи, диагональ куба ABCDA1B1C1D1 равна 3 ед. Требуется вычислить длину а стороны куба. Диагональ куба У куба все ребра равны, нижним основанием ABCD и верхним основанием A1B1C1D1 являются квадраты со стороной а, и боковые ребра AA1; BB1; CC1; DD1 также равны а. Диагональю куба называют отрезок, связывающий вершину нижнего основания с противолежащей вершиной верхнего основания, не принадлежащие одной грани. Иначе говоря, это должны быть такие вершины, чтобы отрезок полностью находился внутри куба. Соответственно, у куба четыре диагонали: AC1; BD1; CA1; DB1; Возьмем любой из прямоугольных треугольников, гипотенузой которого является диагональ куба, а катетами – боковое ребро и диагональ основания, например, треугольник AСC1. В этом треугольнике диагональ куба AC1 является гипотенузой, боковое ребро СC1 и диагональ основания АС – катетами. Все такие треугольники равны друг другу по двум катетам и прямому углу между ними. Для решения задачи необходимо: вычислить диагональ основания АС; выразить диагонали куб AC1 через сторону куба; приравнять известной по условию задачи величине и найти сторону куба. Вычисление стороны куба Из треугольника АВС: |АС|^2 = |АВ|^2 + |ВС|^2 = а^2 + а^2 = 2 * а^2; Из треугольника AСC1: |АС1|^2 = |АС|^2 + |СС1|^2 = 2 * а^2 + а^2 = 3 * а^2; Далее: а^2 = |АС1|^2 / 3; а = |АС1| / √3; Подставляя исходное значение, получаем: а = 3 / √3 = √3 (ед); Ответ: сторона куба равна √3 ед.
Даша Белоусова Обозначим диагональ куба ВС и рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (см. рис)Пусть АВ = х ед.Пользуясь теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников, составим уравнение:АВ^2 + АС^2 = ВС^2 (*)Найдем длину АСДля этого рассмотрим прямоугольный треугольник ADCТ.к. у куба все ребра равны, то AD = AC = AB = х ед.По теореме ПифагораАD^2 + DС^2 = AС^2илиx^2 + x^2 = AС^2ПолучаемAС^2 = 2x^2Подставляем значение AC^2 в (*), получаемx^2 + 2x^2 = 3^23x^2 = 9x^2 = 3x = √3Ответ: √3 ед.
